splin 3次スプライン補間 d = splin(x, y [,spline_type [, der]]) x 単調増加する (列または行) ベクトル (x は2つ以上の要素を有する 必要があります) y xと同じ大きさのベクトル spline_type (オプション) 計算するスプラインの種類を選択する文字列 der (オプション) 2つの要素を有するベクトルで, (spline_type="clamped"の場合に使用される)端点の微係数を有します d xと同じ形式のベクトル (di は, xi)におけるスプラインの微係数です. この関数は, 点(xi,yi)を補間する,すなわち, i=1,..,nについてs(xi)=yi となる 3次スプラインまたはサブスプラインs を計算します. 得られるスプライン sは, (x,y,d)により完全に定義されます. ただし,dはxiにおける 微係数のベクトルです: s'(xi)=di (これは エルミート形式と呼ばれます). いつくかの点におけるスプラインの評価はinterp 関数により行われます. 適当なspline_typeパラメータを選択することにより, いくつかの種類のスプラインを計算することができます: "not_a_knot" これはデフォルトで, 3次スプラインが以下の条件 (n個の点 x1,...,xnを考慮)により計算されます: "clamped" この場合,3次スプラインは端点における微係数 を用いて計算されます.この微係数は最後の引数der で指定されます: "natural" 3次スプラインは次の条件により計算されます: "periodic" 周期的3次スプラインは次の条件により計算されます (yはy1=ynを確認する必要があります): "monotone" この場合,サブスプライン (s は 1回のみ連続的に微分可能)は,sが 各区間で単調となるようなdi に関するローカルなスキームにより計算されます: "fast" この場合, サブスプラインもdi に関する簡単でローカルなスキームにより計算されます: d(i) は (x(i-1),y(i-1)), (x(i),y(i)),(x(i+1),y(i+1)) の多項式補間の x(i) における微係数です. ただし,端点を除きます (d1 は最も左の3点から, dn は最も右の3点から計算されます). "fast_periodic" 前のオプションと同じですが,基本となる関数の周期性に 基づき d1 = s'(x1) = dn = s'(xn)に関する 中心化式も使用します (yはy1=ynも 満たす必要があります). 精度の観点からは,端点の微係数が既知の場合, 基本的にclamped型を使用してください. そうでない場合は,not_a_knot型を使用して ください. しかし,基本的な近似関数に周期性がある場合には, periodic型を使用してください. 良い近似を行うことで,これらの種類のスプラインは,誤差の漸近特性 としてO(h^4)を得ることができます. 基本関数の2階微分が0でない限り, naturalを使用しないでください. monotone, fast (または fast_periodic) 型は,振動を抑制する といったいくつかのケースでは有用です (これらの種類のサブスプラインはO(h^3)の 誤差漸近特性を有します). n=2の(そしてspline_type が clampedではない) 場合, 線形補間が使用されます. n=3 で spline_type が not_a_knotの場合, fast サブスプライン型が実際に計算されます. deff("y=runge(x)","y=1 ./(1 + x.^2)") a = -5; b = 5; n = 11; m = 400; x = linspace(a, b, n)'; y = runge(x); d = splin(x, y); xx = linspace(a, b, m)'; yyi = interp(xx, x, y, d); yye = runge(xx); clf() plot2d(xx, [yyi yye], style=[2 5], leg="interpolation spline@exact function") plot2d(x, y, -9) xtitle("interpolation of the Runge function") a = 0; b = 1; // interval of interpolation n = 10; // nb of interpolation points m = 800; // discretization for evaluation x = linspace(a,b,n)'; // abscissae of interpolation points y = rand(x); // ordinates of interpolation points xx = linspace(a,b,m)'; yk = interp(xx, x, y, splin(x,y,"not_a_knot")); yf = interp(xx, x, y, splin(x,y,"fast")); ym = interp(xx, x, y, splin(x,y,"monotone")); clf() plot2d(xx, [yf ym yk], style=[5 2 3], strf="121", ... leg="fast@monotone@not a knot spline") plot2d(x,y,-9, strf="000") // to show interpolation points xtitle("Various spline and sub-splines on random data") show_window() interp lsq_splin 5.4.0 以前では, 入力引数の虚部は暗黙のうちに無視されていました.